2006年05月04日（木曜日）
平面を同じ形で隙間なく埋め尽くそう。画家・エッシャを思い浮かべる人もいるだろうか。もっと単純な幾何学模様で考えみよう。今回は、正多角形だけで埋め尽くすことにする。 まず思いつくのは、正方形。その中でも最も単純なのは、同じ大きさの正方形がぎっしり詰まったもの。ようするに、碁盤の目というか、市松模様というか、縦と横に平行線を等間隔で何本も引けば完成する。この場合、１つの点に、正方形が４つ集まっている。角が 90 度なので、４つで 360 度だ。 正三角形でも埋め尽くすことができる。この場合は、角は 60 度なので、１点に集まる正三角形は６つである。また、正六角形でもできる。角度は 120 度なので、１点に集まる正六角形は３つ。これは、蜂の巣の構造を思い出す人も多いだろう。そのまま英語でハニカム（Honeycomb）構造などという。 このほかに、正八角形と正方形を取り混ぜて埋め尽くすこともできる。正八角形の角度は 135 度なので、これが２つと、正方形１つでやはり 360 度になる。 ちなみに、サッカーボールの模様のように、正六角形と正五角形でもできそうであるが、残念ながら、平面では成立しない。角度を計算してみるとわかる。