2005年11月16日（水曜日）
Ａであることを証明するために、「もしＡでないならば」と仮定し、その結果もたらされる明らかな矛盾を示す。「したがって、最初の仮定が間違っている」と証明する手法。 有名なものを２つ紹介する。まず、「素数は無限に存在する」の証明。 もし、素数が無限に存在しない、つまり有限だと仮定すると、素数の中で最大の数があることになる。この数をＰとする。今、Ｐ以下の素数すべてを乗じた数をＭとして、これに１を加えたＭ＋１という数を考えると、この数は、いずれの素数で割っても１余り、割り切れない。ということは、この数を割り切ることができるＰよりも大きい素数が存在するか、あるいはそれが存在しないならば、Ｍ＋１が素数であるか、のいずれかになるが、これはＰが素数の最大値であることと矛盾する。したがって、素数は無限に存在する。 「ルート２は有理数ではない」の証明 有理数とは、分数で示すことができる数のことなので、もしルート２が有理数ならば、ルート２＝ａ／ｂと書ける。この場合、ａ，ｂはともに公約数を持たない整数である。この式の両辺を２乗すると、２＝ａ 2／ｂ 2 となり、２ｂ 2 ＝ａ 2 が成り立つ。これは、ａ 2 が偶数であることを示している。２乗して偶数になるのは元の数ａが偶数だからだ。つまり、ａ＝２ｎと書ける。これを代入すると、２ｂ 2 ＝（２ｎ）2 ＝４ｎ 2 となり、両辺を２で割って、ｂ 2 ＝２ｎ 2 が得られる。これは、ｂ 2 やｂが偶数であることを示している。すなわちａもｂも偶数だと証明できるが、両者が公約数を持たない整数であることと矛盾する。したがって、ルート２は分数で表示できない数である。 最初に背理法を教えてもらったときは「なんか狡いな」と感じた。最初に背面飛びを見たときも「それはないだろ」と思ったが、どちらも正当な手法である。